函数是无穷维的向量。平面几何里一大堆定义、定理、等式、不等式，在函数空间里都是适用的。比如著名的施瓦兹-柯西不等式，不过是平面三角里|cos(t)| <= 1 的推广而已。

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微积分是解决“见微知著”、“管中窥豹”的问题。通过研究局部的简单问题，把握全局性的复杂问题。其间的桥梁就是牛-莱公式。在外微分形式下，奥高公式和斯托克斯公式都是牛-莱公式，也就是说，1、2、3维牛-莱公式，用一个形式简单的格林公式可以把大学微积分课程里全部内容给概括出来。

微分方程是描述那个“局部的简单问题”的方程，其本质是一个局部规则的描述。因为可以做很多线性的假设，所以这个局部规则相对而言容易找到，因此很多学科能列出微分方程。但是只有解微分方程才能把握整体性质，而解微分方程不容易。

林群院士说，每一门学科都对应一个微分方程。

局部的问题好解决，而大量局部问题解决了，其结果积累起来，就能达成全局目标。算法就是这样。特别是递归和迭代算法，一个递归/迭代过程本身就是一个局部规则，其意义跟微分方程是一样的。所以很多本来是在微分方程理论里发现的定理，比如不动点定理，也用在了计算理论中。计算递归算法复杂度也要可能用到微分方程理论。

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两个向量的点积，等于一个向量在另一个向量上的投影长度，等于两个向量对应坐标分量之积的代数和。这件事情太奇妙了，即使很容易可以证明，我还是觉得很奇妙，怎么会有这样妙的性质呢？

一个向量对应一条有向线段，一组向量对应一组有向线段。一个非奇异矩阵呢，是否可以说对应一个n维空间的一组向量，而这组向量构成一个坐标系。一个向量乘一个矩阵，就是求这个向量在那个矩阵所代表的新的坐标系各个轴线上的投影组成的新的向量。也可以说，矩阵是一个向量变换器。对于一个非奇异矩阵来说，有些向量特别有意思，它们在这个坐标系里的投影组成的新的向量，正好是原来向量的lambda倍。也就是说，经过矩阵这个向量变换器的变换，原来的向量跟乘了个实数lambda没啥分别。所以这个lambda就刻画了这个矩阵的某种特征，叫做矩阵的特征值。

矩阵乘矩阵，就是一组向量在另一组向量张成的坐标系里的投影值。正交矩阵，就是这样的一个矩阵，它自己在自己身上投影，投影出来的结果是一个单位矩阵I。什么时候才会出现这种情况呢？当然只有这个矩阵所代表的向量组里，所有向量两两垂直，才会出现在这种情况。所以叫“正交矩阵”，名字不是随便起的。

来自：http://blog.csdn.net/myan/archive/2006/02/22/605113.aspx

评论

#   笑笑生 发表于2006-02-22 10:11:00  IP: 222.91.73.*

#   风雨骑士 发表于2006-02-22 13:35:00  IP: 222.90.107.*

>>两个向量的点积，等于一个向量在另一个向量上的投影长度 这句话有问题，应该是“投影长度乘以另一个向量的长度”。即： a.b = |a|*|b|*cos夹角

#   myan 发表于2006-02-23 18:47:00  IP: 218.247.0.*

非常感谢风雨骑士的指正。我会抽时间休整原文。

#   猜猜我是谁？ 发表于2006-02-23 19:55:00  IP: 159.226.193.*

猜猜我是谁？ 友情修改：“lambda倍” 应该是 “λ倍”

#   myan 发表于2006-02-24 15:39:00  IP: 218.247.0.*

我大致猜到你是谁了，但是还是请教教我如何直接写希腊字母。不要告诉我是从Word里paste过来的，那个我也会，比如μ。

#   胡言乱语 发表于2006-02-24 19:49:00  IP: 159.226.193.*

为什么要直接从Word里paste过来？难道从其他地方就不可以？

#   stillicel 发表于2006-02-25 14:01:00  IP: 59.44.116.*

呵呵，使用微软拼音2003的Soft Keyboard就可以直接输入希腊字母：）

#   Mr. J 发表于2006-02-25 21:25:00  IP: 219.140.170.*

窃笑，不知道myan用地是何输入法:-)

#   hayate 发表于2006-02-26 11:13:00  IP: 219.140.246.*

呵呵 我高中的时候也常常有一些关于数学的想法 等我进了大学 读了数学系 才发现有更多比这些还要深刻的东西啊 PS:myan 提到的stokes公式 号称 微积分的 终极定理啊 格林也好 牛-莱也好 在高维下都称为stokes公式 对于n维都是成立的 而且在流形上也是成立的 在引入外微分的情况 比较容易证明 确实很深刻啊 只有弄懂了这个定理 我觉得才算理解了微积分

#   blue gene 发表于2006-03-01 08:54:00  IP: 222.53.117.*

我只想说受益匪浅，我想转载到我的blog上，不知梦孟岩兄同意否

#   christanxw 发表于2006-03-06 19:45:00  IP: 220.250.21.*

孟老师莫非最近在研究图形学？

#   于凡 发表于2006-03-07 16:33:00  IP: 60.0.179.*

你说这个感悟有个屁用，发表个感悟谁不会啊，拿作品出来才是正道。

#   Lyons 发表于2006-03-07 17:06:00  IP: 207.46.89.*

别人在自己的blog发发感悟，有何不可？招你惹你了？

#   gamania 发表于2006-03-07 21:39:00  IP: 58.60.77.*

从数学的角度来说，任何部分都不可能是自洽的。所以这些只能作为随想。

#   日梦业笑 发表于2006-03-09 12:31:00  IP: 61.144.42.*

很好-数学

#   图灵注我 发表于2006-03-28 17:48:00  IP: 211.157.25.*

同意hayate。 孟岩的感悟比较浅。但有感悟总是好事情。可恶的是有一批人在拍孟岩的马屁。真讨厌。 拍马屁的，有点自己的思考能力行不行！

#   web 发表于2006-04-05 03:03:00  IP: 220.174.224.*

拍马屁的思考能力在于认识到自己的不足,需要学习. 感慨以及其他, 思考是行动. 能力就不一定是自己想行就行了.

#   hehuar 发表于2006-05-24 22:12:00  IP: 222.90.61.*

两个向量的点积，等于一个向量的模乘民它在另一个向量上的投影长度，等于两个向量对应坐标分量之积的代数和。这件事情太奇妙了，即使很容易可以证明，我还是觉得很奇妙，怎么会有这样妙的性质呢？ 请教一下，应该如何证明啊？

分类： 程序员数学 算法艺术